【题目】已知,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在CD的延长线上取一点P,PG与⊙O相切于点G,连接AG交CD于点F.
(Ⅰ)如图①,若∠A=20°,求∠GFP和∠AGP的大小;
(Ⅱ)如图②,若E为半径OA的中点,DG∥AB,且OA=2,求PF的长.
【答案】(Ⅰ)∠GFP=70°,∠AGP=70°;(Ⅱ)PF=4.
【解析】
(Ⅰ)连接OG,在Rt△AEF中,∠A=20°,可得∠GFP=∠EFA=70°,因为OA=OG,所以∠OGA=∠A=20°,因为PG与⊙O相切于点G,得∠OGP=90°,可得∠AGP=90°﹣20°=70°.;
(Ⅱ)如图,连结BG,OG,OD,AD,证明△OAD为等边三角形,得∠AOD=60°,所以∠AGD=30°,因为DG∥AB,所以∠BAG=∠AGD=30°,在Rt△AGB中可求得AG=6,在Rt△AEF中可求得AF=2,再证明△GFP为等边三角形,所以PF=FG=AG﹣AF=6﹣2=4.
解:(Ⅰ)连接OG,
∵CD⊥AB于E,
∴∠AEF=90°,
∵∠A=20°,
∴∠EFA=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°,
∴∠GFP=∠EFA=70°,
∵OA=OG,
∴∠OGA=∠A=20°,
∵PG与⊙O相切于点G,
∴∠OGP=90°,
∴∠AGP=∠OGP﹣∠OGA=90°﹣20°=70°.
(Ⅱ)如图,连结BG,OG,OD,AD,
∵E为半径OA的中点,CD⊥AB,
∴OD=AD=OA,
∴△OAD为等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∴∠AGD=∠AOD=30°,
∵DG∥AB,
∴∠BAG=∠AGD=30°,
∵AB为⊙O的直径,OA=2,
∴∠AGB=90°,AB=4,
∴AG=ABcos30°=6,.
∵OG=OA,
∴∠OGA=∠BAG=30°,
∵PG与⊙O相切于点G,∴∠OGP=90°,
∴∠FGP=90°﹣30°=60°,
∵∠AEF=90°,AE=,∠BAG=30°,
∴AF=2,∠GFP=∠EFA=60,
∴△GFP为等边三角形,
∴PF=FG=AG﹣AF=6﹣2=4.
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【题目】如图1,抛物线y1=x2tx-t+2与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),过y轴上的点C(0,4),直线y2=kx+3交x轴,y轴于点M、N,且ON=OC.
(1)求出t与k的值.
(2)抛物线的对称轴交x轴于点D,在x轴上方的对称轴上找一点E,使△BDE与△AOC相似,求出DE的长.
(3)如图2,过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H,交直线y2=kx+3于点Q,若点Q′是点Q关于直线MG的对称点,是否存在点G(不与点C重合),使点Q′落在y轴上?,若存在,请直接写出点G的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,RtΔABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,∠DAE=45°,将ΔADC绕点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB,连接EF,下列结论:①ΔAED≌ΔAEF,②,③ΔABC的面积等于四边形AFBD的面积,④,⑤BE+DC=DE,其中正确的是( )
A. ①②④B. ①③④C. ③④⑤D. ①③⑤
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.
(1)直接写出k的值及点E的坐标;
(2)若点F是OC边上一点,且FB⊥DE,求直线FB的解析式.
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【题目】已知抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图像如图所示,则下列结论:①点,,是该抛物线上的点,则;②;③(为任意实数).其中正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】已知二次函数的最大值为4,且该抛物线与轴的交点为,顶点为.
(1)求该二次函数的解析式及点,的坐标;
(2)点是轴上的动点,
①求的最大值及对应的点的坐标;
②设是轴上的动点,若线段与函数的图像只有一个公共点,求的取值范围.
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【题目】知识背景
当a>0且x>0时,因为(﹣)2≥0,所以x﹣2+≥0,从而x+(当x=时取等号).
设函数y=x+(a>0,x>0),由上述结论可知:当x=时,该函数有最小值为2.
应用举例
已知函数为y1=x(x>0)与函数y2=(x>0),则当x==2时,y1+y2=x+有最小值为2=4.
解决问题
(1)已知函数为y1=x+3(x>﹣3)与函数y2=(x+3)2+9(x>﹣3),当x取何值时,有最小值?最小值是多少?
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租货使用成本最低?最低是多少元?
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