Question

【题目】

（已有经验）

我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：

（迁移经验）

（1）如图①，已知点M和直线l，用两种不同的方法完成尺规作图：求作⊙O，使⊙O过M点，且与直线l相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法）

（问题解决）

如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

（2）已知⊙O经过点C，且与直线AB相切．若圆心O在△ABC的内部，则⊙O半径r的取值范围为 ．

（3）点D是边AB上一点，BD＝m，请直接写出边AC上使得∠BED为直角时点E的个数及相应的m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

(1)过直线外一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线确定圆心，从而画圆；

(2)分别作出符合题意的临界点图形，确定半径的取值范围;

(3)根据圆周角定理，点E在以BC为直径的圆上，从而确定出符合条件的圆的半径的取值范围.

（1）如图，

（2）如图：

此时圆O的半径最小，∵圆O与AB相切，

∴CD⊥AB，根据直角三角形的面积公式可得：

根据勾股定理可得：

∴10CD=8×6

CD=4.8，即此时圆的半径r=2.4

如图，当圆心O在AC边上时，根据题意设OC=OD=x,则AO=8-x

∵∠ODA=∠BCA=90°，且∠A=∠A

∴△AOD∽△ABC

∴ , 解得x=3

∴

（3）如图：

根据圆周角定理∠BED为直角时，则以BD为直径的圆与AC交于点E，当OE⊥AC时，此时有一个点E符合条件，由题意可知：OE= ，AO=

∵OE∥BC

∴ ,

解得：m=7.5

当BD=AB时，点E与点C重合，此时m=10

∴时，有1个点E符合题意

时，有0个点E符合题意

时，有2个点E符合题意.