Question

已知二次函数y=2x²+4x-6．
（1）写出其顶点坐标与对称轴方程；
（2）求以抛物线与两个坐标轴交点为顶点的三角形面积．
（3）当-4＜x＜0时，方程2x²+4x-6=t有一解，直接写出t的取值范围

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）利用配方法把已知函数解析式转化为顶点式方程；
（2）确定抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6），然后根据三角形面积公式求解；
（3）先根据a=2判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形式可知对称轴x=1，最小值y=-8，再根据-4＜x＜0可知当x=-4时y最大，把x=-4代入即可得出结论．

解答：解：（1）由函数解析式得到：y=2（x+1）²-8，
则抛物线对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-8）；

（2）令y=0，得2x²+4x-6=0，解得x₁=-3，x₂=1，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
令x=0．抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6），
所以S=

1

2

×（1+3）×6=12．
（3）∵二次函数y=2x²+4x-6的二次项系数2＞0，
∴抛物线的开口方向向上．
又∵抛物线对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-8），
∴当x=0时，t_最小=2（0+1）²-8=-6
当x=-4时，t_最大=2（-4+1）²-8=10．
则当-4＜x＜0时，t的取值范围是：-6≤t＜10．
故答案是：-6≤t＜10．

点评：本题考查了二次函数的顶点坐标，求与坐标轴的交点坐标，最值，增减性，二次函数与一元二次不等式的关系，三角形的面积等问题，将函数转化为方程是解题的关键，同时要会根据坐标求出三角形的面积．