Question

20．有下列多边形：①正八边形和正方形，②正六边形和正十边形；③正六边形和正三角形；能够进行密铺的是①③．（填序号）

Answer 1

分析 正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．

解答 解：①正八边形和正方形内角分别为135°、90°，由于135°×2+90°=360°，故能镶嵌；
②正六边形和正十边形内角分别为120°、144°，由于120m+144n=360，得m=3-n-$\frac{1}{5}$n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能镶嵌；
③正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60°×2+120°×2=360°，故能镶嵌．
故答案为：①③．

点评 此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，除了掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，还可列二元方程看是否有正整数解来判断．