【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A,B分别在坐标轴上.
(1)如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标.
(2)如图②,若BC交x轴于M,过C作CD⊥BC交y轴于D . 求证:BC-CD=MC.
(3)如图③,若点A的坐标为(-4,0),点B是y轴正半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF(∠OBF=90°)、等腰Rt△ABE(∠ABE=90°),连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上运动时,PB的长度是否发生改变?若不变,求出PB的值;若变化,求PB的取值范围.
【答案】(1)B点坐标(0,5);(2)证明见解析;(3)PB的长度不变,PB=2.
【解析】
(1)作CD⊥BO,易证△ABO≌△BCD,根据全等三角形对应边相等的性质即可解题;
(2)由(1)知∠CBD=∠BAM,根据AB=BC,∠ABM=∠BCD=90°,可证△ABM≌△BCD(ASA),可得CD=MB,由于BC-MB=MC,继而求得BC-CD=MC;
(3)作EG⊥y轴,易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP,可得BG=AO和PB=PG,即可求得PB=AO,即可解题.
(1)如图1,作CD⊥BO于D,
∵∠CBD+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBD=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BDC , AB=BC
∴△ABO≌△BCD(AAS)
∴CD=BO=5,
∴B点坐标(0,5)
(2)由(1)知:∠CBD=∠BAM
又AB=BC,∠ABM=∠BCD=90°
∴△ABM≌△BCD(ASA)
∴CD=MB
∵BC-MB=MC
∴BC-CD=MC
(3)PB的长度不变,如图3,作EG⊥y轴于G,
∵∠BAO+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBG=90°,
∴∠BAO=∠EBG,
又∠AOB=∠BGE=90°,AB=BE
∴△BAO≌△EBG(AAS),
∴BG=AO,EG=OB,
∵OB=BF,
∴BF=EG,
在△EGP和△FBP中,
,
∴△EGP≌△FBP(AAS),
∴PB=PG,
∴PB=BG=AO=2.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,每个小正方形边长都是1.
(1)按要求作图:
①以坐标原点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1;
②作出△A1B1C1关于原点成中心对称的中心对称图形△A2B2C2.
(2)△A2B2C2中顶点B2坐标为 .
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【题目】已知点O是等腰直角三角形ABC斜边上的中点,AB=BC,E是AC上一点,连结EB.
(1) 如图1,若点E在线段AC上,过点A作AM⊥BE,垂足为M,交BO于点F.求证:OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交OB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分別在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF、EF的长.
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【题目】如图,等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于D,∠ABC 的平分线分别交 AC,AD 于E,F,点M 为 EF 的中点,AM 的延长线交 BC 于N,连接 DM,NF,EN.下列结论:①△AFE为等腰三角形;②△BDF≌△ADN;③NF所在的直线垂直平分AB;④DM平分∠BMN;⑤AE=EN=NC;⑥.其中正确结论的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图,平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(2,-3),C(4,-2).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.
(2)作出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标_____.
(3)△A2B2C2的面积是____.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0)C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)已知点F(0,),当点P在x轴上运动时,试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?
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【题目】《北京中小学语文学科教学21条改进意见》中的第三条指出:“在教学中重视对国学经典文化的学习,重视历史文化的熏陶,加强与革命传统教育的结合,使学生了解中华文化的悠久历史,增强民族文化自信和价值观自信,使语文教学成为涵养社会主义核心价值观的重要源泉之一”.为此,昌平区掀起了以“阅读经典作品,提升思维品质”为主题的读书活动热潮,在一个月的活动中随机调查了某校初二年级学生的周人均阅读时间的情况,整理并绘制了如下的统计图表:
某校初二年级学生周人均阅读时间频数分布表
周人均阅读时间x (小时) | 频数 | 频率 |
0≤x<2 | 10 | 0.025 |
2≤x<4 | 60 | 0.150 |
4≤x<6 | a | 0.200 |
6≤x<8 | 110 | 0.275 |
8≤x<10 | 100 | 0.250 |
10≤x<12 | 40 | b |
合计 | 400 | 1.000 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)在频数分布表中a=______,b=______;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若该校有1600名学生,根据调查数据请你估计,该校学生周人均阅读时间不少于6小时的学生大约有______人.
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【题目】如图,点A在双曲线y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x轴与点B,
点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE
的面积为3,则k的值为 ▲ .
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