Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上．

(1)如图①，若点C的横坐标为5，求点B的坐标.

(2)如图②，若BC交x轴于M，过C作CD⊥BC交y轴于D . 求证：BC－CD＝MC.

(3)如图③，若点A的坐标为(－4，0)，点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF(∠OBF＝90°)、等腰Rt△ABE(∠ABE＝90°)，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)B点坐标(0，5)；(2)证明见解析；(3)PB的长度不变，PB=2.

【解析】

（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；

（2）由(1)知∠CBD=∠BAM，根据AB=BC，∠ABM=∠BCD=90°，可证△ABM≌△BCD(ASA)，可得CD=MB，由于BC-MB=MC，继而求得BC-CD=MC；

（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=AO，即可解题．

(1)如图1，作CD⊥BO于D，

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBD=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BDC , AB=BC

∴△ABO≌△BCD(AAS)

∴CD=BO=5，

∴B点坐标(0，5)

(2)由(1)知：∠CBD=∠BAM

又AB=BC，∠ABM=∠BCD=90°

∴△ABM≌△BCD(ASA)

∴CD=MB

∵BC-MB=MC

∴BC-CD=MC

(3)PB的长度不变，如图3，作EG⊥y轴于G，

∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，

∴∠BAO=∠EBG，

又∠AOB＝∠BGE＝90°,AB＝BE

∴△BAO≌△EBG(AAS)，

∴BG=AO，EG=OB，

∵OB=BF，

∴BF=EG，

在△EGP和△FBP中，

,

∴△EGP≌△FBP(AAS)，

∴PB=PG，

∴PB=BG=AO=2．