Question

【题目】如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．

（1）依题意补全图形；

（2）求证∠DMF＝∠ABF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）按要求画图即可；

（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM，可得结论．

（1）解：如图所示，

（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，

∵点P为线段AE中点，

∴AP＝PE，

∵AB∥CD，

∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，

∵在△APB和△EPN中，

∵，

∴△APB≌△EPN（AAS），

∴AB＝EN

∴AB＝CD＝EN，

∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，

∵DE＝CM，

∴DN＝DM，

∵FD⊥MN，

∴FN＝FM，

∴∠N＝∠1，

∴∠1＝∠2，

即∠DMF＝∠ABF．