Question

15．如图1，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，延长CD，过点B作BF交CD的延长线于点F，使FB=FG．
（1）判断FB与⊙O的位置关系并证明你的结论；
（2）如图2，连接BD，AC，若BD=BG，求证：AC∥BF；
（3）在（2）的条件下，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，GD=3，求⊙O的半径及BF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠FBG=∠FGB，∠OAB=∠OBA，等量代换得到∠AGE=∠FBG，根据垂直的定义得到OB⊥BF，于是得到结论；
（2）由已知条件易证∠DGB=∠GDB，因为∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，所以∠CAB=∠BDC，进而可证明∠CAB=∠GBF，则AC∥BF；
（3）由（2）得∠FBG=∠CAG，再根据已知条件易证∠ACE=∠F，所以tan∠F=tan∠ACE=$\frac{3}{4}$，易求AE的长度．设⊙O的半径为R，根据勾股定理列方程求出R的值，然后又相似三角形的性质得到BF的长．

解答 证明：（1）如图1，连接OB，
∵BF=GF，
∴∠FBG=∠FGB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AGE=∠FGB，
∴∠AGE=∠FBG，
∵OA⊥CD，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE+∠EAG=90°，
∴∠OBG+∠FBG=90，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；

（2）∵BD=BG，
∴∠DGB=∠GDB，
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠BDC，
∴∠CAB=∠FGB，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAB=∠GBF，
∴AC∥FB；                    

（3）由（2）得∠FBG=∠CAG，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAG=∠FGB，
∵∠FGB=∠CGA，
∴∠CGA=∠CAG，
∴CA=CG，
∵AC∥BF，
∴∠ACE=∠F，
∴tan∠ACE=tan∠F，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠ACE=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，设AE=3k，CE=4k，
∴A=CG=5k，
∵AE⊥CD，
∴CE=DE=4k，
∴EG=k，DG=3k=3，
∴k=1，
∴AE=3，CE=4，
如图2，连接OC，设⊙O的半径为R，在Rt△CEO中，
CO²=CE²+OE²，即R²=4²+（R-3）²，
解得R=$\frac{25}{6}$，
即⊙O的半径为$\frac{25}{6}$，
∵AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{\;}}$=$\sqrt{10}$，
∵AB，CD相交于G，
∴AG•BG=CG•DG，
∴BG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵BD=BG，BF=GF，
∴△BGD∽△FBG，
∴$\frac{BG}{BF}=\frac{DG}{BG}$，
∴BF=$\frac{B{G}^{2}}{DG}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的判定，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握和各种几何图形有关的定理及性质是解本题的关键．