Question

若△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，∠B的角平分线交AC于D，且BC=BD+AD，求∠A的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：作DE∥BC交AB于E，在BC上取BF=BD于F，连接DF，可证△ADE≌△DCF，可得：∠C=2∠1，即可求得∠A的度数．

解答：解：作DE∥BC交AB于E，在BC上取BF=BD于F，连接DF，

∵BD平分∠ABC；DE∥BC
∴∠2=∠1=∠3；
∴BE=DE，
又∵AB=AC，
∴∠6=∠ABC=∠ACB=∠7=2∠1，
∴AE=AD；
∴DC=BE=DE，
∵BC=BD+AD=BF+CF；BD=BF，
∴AD=CF，
在△ADE和△DCF中，

CD=DE ∠6=∠C CF=AE

，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠C=∠6=∠7=∠FDC=2∠1，
∵BD=BF，
∴∠5=∠4=2∠C=4∠1，
在△BDF中：∠1+∠4+∠5=180°，
即∠1+4∠1+4∠1=180°，
解得：∠1=20°，
∴∠ABC=∠ACB=2∠1=40°，
∴∠A=180°-2∠ABC=180°-2×40°=100°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE≌△DCF是解题的关键．