Question

在直角坐标系中，A （-6，0），B在第二象限，AOB为等边三角形．BE⊥y轴与y轴相交于点E，F在第一象限，△EOF为等边三角形．连接AF．求证：PA=PF．（不能用四点共圆、三角函数、相似三角形解题）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：易证点B坐标，即可求得点E坐标，根据等边三角形的性质即可求得点F的坐标，即可求得直线AF的解析式，即可求得点P的坐标，即可解题．

解答：解：找到AO中点M，OE中点N，连接BM，FN，

∵△AOB为等边三角形，AM=3，
∴BM=3

3

，
∴点B横坐标为-3，纵坐标为3

3

，
∴点E坐标为（0，3

3

），
∵△EOF为等边三角形，ON=

3 3

2

，
∴FN=

9

2

，
∴F点坐标为（

9

2

，

3 3

2

）
设直线AF解析式为y=kx+b，代入A，F得：y=

3

7

x+

6 3

7

，
设直线OB解析式为y=kx+b，代入O，B得：y=-

3

x，
∴交点P坐标为（-

3

4

，

3 3

4

）．
∴AP=PF．

点评：本题考查了等边三角形三线合一的性质，考查了一次函数在平面直角坐标系中运用，本题中求得直线AF的解析式是解题的关键．