Question

如图，在平四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．

（1）求BD的长；

（2）在直线AC的同侧，以点O为位似中心，作出△CON的位似三角形，并使△CON与和它位似的三角形的位似比是1：2．（写出结果，不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

【考点】作图-位似变换；平行四边形的性质．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，OB=OD，则利用DM∥BC可判断△MND∽△CNB，所以MD：BC=DN：BN=1：2，设OB=OD=x，则BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，于是得到x+1=2（x﹣1），解得x=3，所以BD=2x=6；

（2）如图，在OD上截取NG=ON，延长OC到H，使HC=OC，则△HOG满足条件．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴DM∥BC，

∴△MND∽△CNB，

∴MD：BC=DN：BN，

∵M为AD中点，

∴MD：BC=1：2，

∴DN：BN=1：2，即BN=2DN，

设OB=OD=x，则BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1），解得x=3，

∴BD=2x=6；

（2）如图，△HOG为所作．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；再根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质．