Question

图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（　　）

A．4       B．6       C．4﹣2   D．10﹣4

Answer 1

D

【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C₂位置最远，然后又慢慢移动到C₃结束，点C经过的路程应是线段C₁C₂+C₂C₃．

【解答】解：如图3，连接OG．

∵∠AOB是直角，G为AB中点，

∴GO=AB=半径，

∴原点O始终在⊙G上．

∵∠ACB=90°，AB=6，AC=2，∴BC=4．

连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==，

∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．

如图4，C₁C₂=OC₂﹣OC₁=6﹣2=4；

如图5，C₂C₃=OC₂﹣OC₃=6﹣4；

∴总路径为：C₁C₂+C₂C₃=4+6﹣4=10﹣4．

故选：D．

【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．