Question

如图，已知：直线y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD对称中心为M，双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，则k=　　　　　　．

　

Answer 1

　4　．

 

【考点】反比例函数综合题．

【分析】根据一次函数的解析式y=﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式=，设OC=x，则BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD对称中心为M，得到M（x+，），根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程x（3x+1）=（x+）（），解得x=1，求得C（1，4），即可得到结果．

【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，

∴A（3，0），B（0，1），

∴OA=3，OB=1，

过C作CE⊥y轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠CBA=90°，

∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

∵∠BEC=∠AOB=90°，

∴△BCE∽△ABO，

∴=，

设OC=x，则BE=3x，

∴C（x，3x+1），

∵矩形ABCD对称中心为M，

∴M（x+，），

∵双曲线y=（x＞0）正好经过C，M两点，

∴x（3x+1）=（x+）（），

解得：x=1，

∴C（1，4），

∴k=1×4=4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了矩形的性质，求直线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．