Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定．

【分析】（1）首先连接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB为直径，可得∠ADB=90°，继而求得∠ODE=90°，则可证得：DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ABC中，可得tanA==，则可求得BC的长，然后由勾股定理求得AC的长，易证得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

【解答】（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A．

又∵∠BDE=∠A，

∴∠ODA=∠BDE．

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°．

即∠ODA+∠ODB=90°．

∴∠BDE+∠ODB=90°．

∴∠ODE=90°．

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵R=5，

∴AB=10．

在Rt△ABC中，

∵tanA==，

∴BC=AB•tanA=10×=，

∴AC==，

∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，

∴△BCD∽△ACB．

∴，

∴CD==．

【点评】此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．