Question

9．如图1，点E为正方向ABCD的边BC上任意一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AEG，延长EG交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AF平分∠GAD；
（2）若BE=4，DF=6，求AG的长；
（3）如图2，连接BD，分别交AE，AF于点M，N，求证：BM²+DN²=MN²．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到AG=AB，∠AGE=∠B=90°，证得AD=AG，推出R_t△AGF≌R_t△ADF，即可得到结论；
（2）设AG=AB=BC=t，则CE=t-4，CF=t-6，根据勾股定理得到结果；
（3）如图，由于∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，得到∠MAN=45°，将△ABM绕着点A逆时针旋转90°得到△AB′M′，得到点B′与点D重合，通过△MAN≌△M′AN，得到NM=NM′根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠D=90°，
∵将△ABE沿着AE折叠得到△AEG，
∴AG=AB，∠AGE=∠B=90°，
∴AD=AG，
在R_t△AGF与R_t△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴R_t△AGF≌R_t△ADF，
∴∠GAF=∠DAF，
∴AF平分∠GAD；

（2）解：设AG=AB=BC=t，则CE=t-4，CF=t-6，
在R_t△CEF中，CE²+CF²=EF²，即（t-4）²+（t-6）²=100，
解得：t=2（不合题意，舍去），t=10，
∴AG=10；

（3）证明：如图，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠MAN=45°，将△ABM绕着点A逆时针旋转90°得到△AB′M′，
∴点B′与点D重合，
∴∠NAM′=∠2+∠5=∠2+∠3=∠1+∠4=45°，
在△MAN与△M′AN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM′}\\{∠MAN=∠M′AN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△M′AN，
∴NM=NM′，
∵∠M′DN=∠7+∠8=∠6+∠7=90°，
∴MN²=M′N²=DM′²+DN²=BM²+DN²．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．