Question

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF=BC．
（1）证明：AC=AF；
（2）若AD=2，AF=$\sqrt{3}$+1，求AE的长；
（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD内接于⊙O证得△ABC≌△ADF，利用全等三角形的对应边相等证得AC=AF；    
（2）根据（1）得，AC=AF=$\sqrt{3}+1$，证得△ADE∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，代入数值求得AE的长即可；
（3）首先根据平行线等分线段定理得到AG=AE，然后证得△ADG∽△AFD，从而证得GD⊥BD，利用“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”证得DG为⊙O的切线即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．                          
在△ABC与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠ABC=∠ADF\\ BC=DF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADF．
∴AC=AF；    
                                           
（2）解：由（1）得，AC=AF=$\sqrt{3}+1$．      
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$．
∴∠ADE=∠ACD．
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．  
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$．
∴$AE=\frac{{A{D^2}}}{AC}=\frac{2^2}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{4（{\sqrt{3}-1}）}}{2}=2\sqrt{3}-2$；

（3）证明：∵EG∥CF，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AF}{AC}=1$．
∴AG=AE．
由（2）得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{AG}{AD}$．
∵∠DAG=∠FAD，
∴△ADG∽△AFD．        
∴∠ADG=∠F．
∵AC=AF，
∴∠ACD=∠F．
又∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ADG=∠ABD．                   
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∴∠ABD+∠BDA=90°．
∴∠ADG+∠BDA=90°．
∴GD⊥BD．
∴DG为⊙O的切线．

点评 本题考查了四边形的综合知识，还考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，综合性比较强，特别是（3）中利用平行线等分线段定理证得AG=AE更是解答本题的关键，难度中等．