Question

如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β₁；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，∠F=β₂；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β₃；…若∠A=40°，∠D=32°，则β₄为

 

度．

Answer 1

分析：先根据角平分线的性质得出∠ABE=∠DBE，∠ACE=∠DCE，再由三角形外角的性质可得出∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE，∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE，再根据∠A=40°，∠D=32°即可得出∠E的度数，同理即可得出β₂、β₃、β₄的度数．

解答：解：∵∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠EBD、∠ECD的平分线交于F，
∴∠ABE=∠DBE （1），
∠ACE=∠DCE （2），
∵∠BOC是△COE与△AOB的外角，
∴∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE （3），
∵∠BPC是△BEP与△PCD的外角，
∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE （4）
（3）+（4），得：2∠E+∠ACE+∠DBE=∠A+∠D+∠ABE+∠DCE （5）
把（1），（2），代入（5），
化简得：∠E=

∠A+∠D

2

=

40°+32°

2

=36°，
∴∠β₁=36°，
同理可得，∠β₂=

∠E+∠D

2

=

∠β1+∠D

2

=

36°+32°

2

=34°，
∠β₃=

∠F+∠D

2

=

∠β2+∠D

2

=

34°+32°

2

=33°，
∴∠β₄=

∠β3+∠D

2

=

33°+32°

2

=32.5°．
故答案为：32.5．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质、三角形外角的性质，根据以上知识求出β₁、β₂的度数，找出规律是解答此题的关键．