Question

如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），OC与⊙D相交于点C，∠OCA=30°．
（1）求OB的长；
（2）⊙D经过怎样平移，使得⊙D与y轴相切？（写出一种平移方法即可）
（3）求阴影部分面积和．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AB，由圆周角定理可得∠OBA的度数，解直角三角形BOA，即可求出OB的长；
（2）过D作DM⊥OB，利用已知条件可求出DM的长，则⊙D向右平移OD-DM即可使得⊙D与y轴相切；
（3）利用两个扇形的面积-两个三角形的面积即可得到阴影部分面积和．

解答：解：（1）连接AB，
∵∠OCA=30°，
∴∠OBA=∠0CA=30°，
∵AO⊥BO，
∴∠BOA=90°，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
∴OB=4

3

；
（2）过D作DM⊥OB，
∵∠BOA=90°，
∴AB为圆的直径，
∵∠OBA=30°，OA=4，
∴AB=8，
∴BD=4，
∴DM=2，
∴⊙D向右平移OD-DM=2，即可使得⊙D与y轴相切；
（3）∵S_扇形BDO=

nπr2

360

=

120×π×16

360

=

16π

3

，S_△BDO=

1

2

DM•BO=

1

2

×2×4

3

=4

3

，S_扇形ODA=

nπr2

360

=

60×π×16

360

=

8π

3

，S_△ODA=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴阴影部分面积和=

16π

3

+

8π

3

-4

3

-4

3

=8π-8

3

．

点评：本题考查了和圆有关的综合题目，用到的知识点有圆周角定理、平移的性质、解直角三角形的有关知识、特殊角的三角函数值、扇形面积公式运用以及三角形面积公式运用，题目的综合性较强，难度中等．