Question

7．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形．

Answer 1

分析 由三角形中位线定理得出MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$BD，PN∥CE，PN=$\frac{1}{2}$CE，MQ∥CE，MQ=$\frac{1}{2}$CE，因此PN=MQ，PN∥MQ，资产四边形PQMN是平行四边形，再由已知条件得出MN⊥MQ，证出∠NMQ=90°，即可得出四边形PQMN是矩形．

解答 证明：∵M，N分别是DE，BE的中点，
∴MN是△BDE的中位线，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$BD，
同理：PN∥CE，PN=$\frac{1}{2}$CE，MQ∥CE，MQ=$\frac{1}{2}$CE，
∴PN=MQ，PN∥MQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴BA⊥CA，
∵MN∥AB，MQ∥AC，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∴四边形PQMN是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记矩形的判定，由三角形中位线定理证出PN=MQ，PN∥MQ，MN⊥MQ是解决问题的关键．