Question

19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．过它的四个顶点分别作两条对角线的平行线相交于点E、F、G、H．
（1）当AC、BD具有什么关系时，四边形EFGH是矩形？说明理由；
（2）当AC、BD具有什么关系时，四边形EFGH是菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明∠EFC=90°即可．
（2）当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．只要证明EH=HG即可．

解答 （1）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
证明：∵EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠EBD=90°，
∵BD∥FG，
∴∠EFG=∠EBD=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
证明：由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，
∵AC∥HG，AH∥CG，
∴四边形AHGC是平行四边形，
∴AC=GH，
同理四边形EHDB是平行四边形，
∴BD=EH，
∵AC=DB，
∴EH=HG，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握这些判定方法是解决问题的关键，记住菱形、矩形的三种判定方法，属于中考常考题型．