Question

12．已知多项式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1，且被x-2除余数为3，那么a=-1；b=-1；c=1．

Answer 1

分析 由多项式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1可得x³+ax²+bx+c=（x+1）（x-1）（mx+n），分别令x=±1，可得关于a、b、c的俩方程；再由多项式x³+ax²+bx+c被x-2除余数为3可得x³+ax²+bx+c=p（x-2）+3，令x=2可得关于a、b、c的方程，联立方程组求解可得．

解答 解：∵多项式x³+ax²+bx+c含有因式x+1和x-1，
∴x³+ax²+bx+c=（x+1）（x-1）（mx+n），
当x=1时，1+a+b+c=0，即a+b+c=-1，
当x=-1时，-1+a-b+c=0，即a-b+c=1，
又∵多项式x³+ax²+bx+c被x-2除余数为3，
∴x³+ax²+bx+c=p（x-2）+3，
当x=2时，8+4a+2b+c=3，即4a+2b+c=-5，
联立可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-1}\\{a-b+c=1}\\{4a+2b+c=-5}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-1，c=1，
故答案为：-1，-1，1．

点评 本题主要考查因式定理与综合除法的知识点，解答本题的关键是熟练掌握整除带余的概念．