Question

4£®Èçͼ1£¬ÌÝÐÎABCDÖУ¬AD¡ÎBC£¬AB=AD=DC=5£¬BC=11£®Ò»¸ö¶¯µãP´ÓµãB³ö·¢£¬ÒÔÿÃë1¸öµ¥Î»³¤¶ÈµÄËÙ¶ÈÑØÏ߶ÎBC·½ÏòÔ˶¯£¬¹ýµãP×÷PQ¡ÍBC£¬½»ÕÛÏ߶ÎBA-ADÓÚµãQ£¬ÒÔPQΪ±ßÏòÓÒ×÷Õý·½ÐÎPQMN£¬µãNÔÚÉäÏßBCÉÏ£¬µ±Qµãµ½´ïDµãʱ£¬Ô˶¯½áÊø£®ÉèµãPµÄÔ˶¯Ê±¼äΪtÃ루t£¾0£©£®
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£¨3£©Èçͼ2£¬µ±µãQÔÚÏ߶ÎADÉÏÔ˶¯Ê±£¬Ï߶ÎPQÓë¶Ô½ÇÏßBD½»ÓÚµãE£¬½«¡÷DEQÑØBD·­ÕÛ£¬µÃµ½¡÷DEF£¬Á¬½ÓPF£®ÊÇ·ñ´æÔÚÕâÑùµÄt£¬Ê¹¡÷PEFÊǵÈÑüÈý½ÇÐΣ¿Èô´æÔÚ£¬Çó³ö¶ÔÓ¦µÄtµÄÖµ£»Èô²»´æÔÚ£¬Çë˵Ã÷ÀíÓÉ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÎÊÌâµÄ±¾ÖʾÍÊÇÇóBPµÄ³¤¶È£®µ±Õý·½ÐÎPQMNµÄ±ßMNÇ¡ºÃ¹ýµãDʱ£¬µãMÓëµãDÖغϣ¬´ËʱMQ=4£¬×÷AG¡ÍBCÓÚG£¬DH¡ÍBCÓÚH£¬ÔòGP=AQ=AD-DQ=1£¬BP=BG+GP=4£¬¼´t=4£»
£¨2£©·ÖËÄÖÖÇé¿ö£º0£¼t¡Ü3£»3£¼t¡Ü4£»4£¼t¡Ü7£»7£¼t¡Ü8£®¶ÔÓÚÿһÖÖÇé¿ö£¬»­³ö±êʾÒâͼ£¬È·¶¨Öصþ²¿·ÖµÄÐÎ×´£¬ÔÙ¼ÆËãÃæ»ý£»
£¨3£©·ÖÈýÖÖÇé¿ö£ºEF=EP£»FE=FP£»PE=PF£®Í¬Ñù£¬¶ÔÓÚÿһÖÖÇé¿ö£¬»­³ö¶ÔӦͼÐΣ¬Áз½³ÌÇó½â£®

½â´ð ½â£º£¨1£©Èçͼ2£¬×÷AG¡ÍBCÓÚG£¬DH¡ÍBCÓÚH£¬ÔòËıßÐÎAGHDÊǾØÐΣ®

¡ßÌÝÐÎABCDÖУ¬AB=AD=DC=5£¬
¡à¡÷ABG¡Õ¡÷DCH£¬
¡àBG=$\frac{1}{2}$£¨BC-AD£©=3£¬AG=4£¬
¡àµ±Õý·½ÐÎPQMNµÄ±ßMNÇ¡ºÃ¹ýµãDʱ£¬µãMÓëµãDÖغϣ¬´ËʱMQ=4£¬
GP=AQ=AD-DQ=1£¬BP=BG+GP=4£¬
¡àµ±t=4ʱ£¬Õý·½ÐÎPQMNµÄ±ßMNÇ¡ºÃ¹ýµãD£®
£¨2£©Èçͼ1£¬µ±0£¼t¡Ü3ʱ£¬BP=t£¬

¡ßtan¡ÏDBC=$\frac{1}{2}$£¬tan¡ÏC=tan¡ÏABC=$\frac{4}{3}$£¬
¡àGP=$\frac{1}{2}$t£¬PQ=$\frac{4}{3}$t£¬BN=t+$\frac{4}{3}$t=$\frac{7}{3}$t£¬NR=$\frac{7}{6}$t£¬
¡à$S=\frac{\frac{4}{3}t£¨\frac{1}{2}t+\frac{7}{6}t£©}{2}=\frac{10}{9}{t}^{2}$£¬
Èçͼ3£¬µ±3£¼t¡Ü4ʱ£¬

BP=t£¬GP=$\frac{1}{2}$t£¬PQ=4£¬BN=t+4£¬NR=$\frac{1}{2}$t+2£¬
¡à$S=\frac{£¨\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}t+2£©¡Á4}{2}=2t+4$£»
ͼ4£¬µ±4£¼t¡Ü7ʱ£¬

BP=t£¬GP=$\frac{1}{2}$t£¬PQ=4£¬PH=8-t£¬BN=t+4£¬HN=t+4-8=t-4£»
¡àCN=3-£¨t-4£©=7-t£¬NR=$\frac{28-4t}{3}$£¬
¡àS=$\frac{£¨\frac{1}{2}t+4£©£¨8-t£©}{2}+\frac{£¨\frac{28-4t}{3}+4£©£¨t-4£©}{2}$=$-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}$£»

Èçͼ5£¬µ±7£¼t¡Ü8ʱ£¬

BP=t£¬GP=$\frac{1}{2}$t£¬PQ=4£¬PH=8-t£¬
¡à$S=\frac{£¨\frac{1}{2}t+4£©¡Á£¨8-t£©}{2}$+$\frac{3¡Á4}{2}$=$-\frac{1}{4}{t}^{2}$+22£»
¡à×ÛÉÏËùÊö£º$S=\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{9}{t}^{2}£¨0£¼t¡Ü3£©}\\{2t+4£¨3£¼t¡Ü4£©}\\{-\frac{11}{12}{t}^{2}+\frac{28}{3}t-\frac{32}{3}£¨4£¼t¡Ü7£©}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+22£¨7£¼t¡Ü8£©}\end{array}\right.$
£¨3£©¡ß¡ÏPEF+¡ÏQEF=180¡ã=¡ÏQDF+¡ÏQEF£¬
¡à¡ÏPEF=¡ÏQDF=2¡ÏADB=¡ÏABC£¬
¡àcos¡ÏABC=cos¡ÏPEF=$\frac{3}{5}$£¬
ÓÉ£¨1£©¿ÉÖªEP=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$t£¬ÔòEF=EQ=PQ-EP=4-$\frac{1}{2}$t£¬
Èçͼ6£¬µ±EF=EPʱ£¬

$4-\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}t$£¬
¡àt=4£»
Èçͼ7£¬µ±FE=FPʱ£¬

×÷FR¡ÍEPÓÚR£¬
¡àER=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{3}{5}$EF£¬
¡à$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}t=\frac{3}{5}£¨4-\frac{1}{2}t£©$£¬
¡à$t=\frac{48}{11}$£¬
Èçͼ8£¬µ±PE=PFʱ£¬

×÷PS¡ÍEFÓÚS£¬
¡àES=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{3}{5}$PE£¬
¡à$\frac{1}{2}£¨4-\frac{1}{2}t£©=\frac{3}{5}•\frac{1}{2}t$£¬
¡à$t=\frac{40}{11}$£»
×ÛÉÏËùÊö£¬µ±t=4£¬$\frac{40}{11}$¡¢$\frac{48}{11}$ʱ£¬¡÷PEFÊǵÈÑüÈý½ÇÐΣ®

µãÆÀ ±¾ÌâÊÇËıßÐÎ×ÛºÏÌ⣬ҲÊǶ¯Ì¬¼¸ºÎѹÖáÌ⣬Ö÷Òª¿¼²éÁËÌÝÐεÄÐÔÖÊ¡¢È«µÈÈý½ÇÐεÄÅж¨ÓëÐÔÖÊ¡¢¾ØÐεÄÅж¨ÓëÐÔÖÊ¡¢ÏàËÆÈý½ÇÐεÄÅж¨ÓëÐÔÖÊ¡¢Èý½ÇÐÎÃæ»ýÇ󷨡¢µÈÑüÈý½ÇÐεÄÅж¨ÓëÐÔÖʵÈ֪ʶµã£¬×ÛºÏÐÔºÜÇ¿£¬ÄѶȽϴ󣮷ÖÀàÌÖÂÛ˼Ïë¼°·½³Ì˼ÏëµÄÊìÁ·Ó¦ÓÃÊǽâ´ð±¾ÌâµÄ¹Ø¼ü£®