Question

5．已知凸四边形ABCD四边的长AB、BC、AD、DC分别为1，9，9，8，且cosD=$\frac{7}{18}$，考虑下列命题：①四边形ABCD是梯形；②四边形ABCD的面积是$\frac{45\sqrt{11}}{4}$；③若M是BC的中点，则AM⊥DM；④若M是BC上一点，且AM⊥DM，则M是BC中点．其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 如图1中，AE⊥CD于E，在EC上截取EF=ED，可以证明四边形ABCF是平行四边形由此推出①②正确，当M是BC中点时，延长AM交DC的延长线于N，只要证明△ABM≌△NCM，得DA=DN，AM=MN，由此可以证明③正确，如图2中，以AD为直径画圆与BC有两个交点M、M′，∠AMD=∠AM′D=90°，由此可以说明④错误．

解答 解：如图1中，AE⊥CD于E，在EC上截取EF=ED，
在RT△AED中，∵∠AED=90°，AD=9，cos∠ADE=$\frac{7}{18}$，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{7}{18}$，
∴ED=EF=3.5，
∵AE⊥DF，ED=EF，
∴AF=AD=9=BC，CF=CD-FD=1=AB，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CD，BC与AD不平行，
∴四边形ABCD是梯形，故①正确．
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}-E{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{11}}{2}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{AB+CD}{2}•AE$=$\frac{45\sqrt{11}}{4}$，故②正确．
当M是BC中点时，延长AM交DC的延长线于N，
∵AB∥DN，
∴∠B=∠MCN，
在△ABM和△NCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MCN}\\{∠AMB=∠CMN}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCM，
∴AB=CN=1，AM=MN，
∴DN=CN+CD=9=AD，
∴DM⊥AN，故③正确．
如图2中，以AD为直径画圆与BC有两个交点M、M′，∠AMD=∠AM′D=90°，
∴点M不一定是中点．
故④错误．
故选C．

点评 本题考查命题与定理、三角函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形以及平行四边形解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．