Question

2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC=60°，AB=3，BE=1，则PG的长度=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长GP交CD于H，由菱形的性质得出CD∥AB∥GF，BC=CD=AB=3，BG=GF=BE=1，由ASA证明△PGF≌△PHD，得出对应边相等PH=PG，DH=FG，得出CH=CG，再根据等腰三角形三线合一的性质得出∠PCG=$\frac{1}{2}$×120°=60°，得出∠PGC=30°，求出PC，得出PG即可．

解答 解：延长GP交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，BC=CD=AB=3，BG=GF=BE=1，
∴∠PDH=∠PFG，
∵P是线段DF的中点，
∴PD=PF，
在△PGF和△PHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDH=∠PFG}&{\;}\\{PD=PF}&{\;}\\{∠DPH=∠FPG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴PH=PG，DH=FG=1，
∵CH=CD-DH=3-1=2，CG=BC-BG=3-1=2，
∴CH=CG，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∴∠PCG=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠PGC=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$CG=1，
∴PG=$\sqrt{3}$PC=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．