Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1 ， x2 ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，解得

（2）解：由 ，

由根与系数的关系可得：

代入得： ，

化简得： ，

得 .

由于 的取值范围为 ，

故不存在k使 。

【解析】（1）根据题意可知原方程有两个实数根，得出b2-4ac≥0，列不等式求解即可。
（2）先将x1·x2－x12－x22转化为 3x1x2（x1+x2）2，再利用根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，然后代入建立关于k的不等式，求出不等式的解集，即可得出结果。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用求根公式和根与系数的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．