Question

14．已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB交⊙O于另一点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线
（2）若PD=3，PB=1，求⊙O的半径；
（3）若PD=4，sin∠CDB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质和判定，先由性质得到∠OCP=90°，再判断∠ODP=∠OCP即可；
（2）利用切割线定理得到PD²=PB×PA，先算出PA从而求出圆的半径，
（3）利用正弦值设出BE=$\sqrt{5}$x，BD=5x，从而求出DE，再利用三角形角平分线的性质，得出$\frac{DE}{DP}=\frac{BE}{BP}$，求出BP，再用切割线定理PD²=PB×PA=PB（PB+2r），求出圆的半径．

解答 （1）证明：连接OC，OD，
∴OC=OD
∵CD⊥AB，
∴∠COB=∠DOB
∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP（SAS），
∴∠ODP=∠OCP，
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥CP，
∴∠OCP=90°，
∴∠ODP=90°，
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线．
（2）解：∵PD是⊙O的切线，PBA是⊙O的割线，
∴PD²=PB×PA，
∵PD=3，PB=1，
∴3²=1×PA，
∴PA=9，
∴AB=PA-PB=9-1=8，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×$8=4，
即：⊙O的半径为4
（3）解：∵sin∠CDB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴设BE=$\sqrt{5}$x，BD=5x，
∵CD⊥AB，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，根据勾股定理，有DE=$\sqrt{{BD}^{2}{-BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵PD切⊙O于D，
∠PDB=∠BCD，
AB为⊙O直径，且CD⊥AB，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BDC=∠PDB，
∴$\frac{DE}{DO}=\frac{BE}{BP}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}x}{4}=\frac{\sqrt{5}x}{BP}$，
∴BP=2，
设⊙O的半径为r，
∵PD切⊙O于D，
 PAB为⊙O的割线，
∴PD²=PB×PA=PB（PB+2r），
∴4²=2（2+2r），
∴r=3．
答：⊙O的半径为3．

点评 本题是中上水平的题，主要考查圆的切线的有关性质和圆的切线的判定，涉的到的知识点比较多，（如圆的切割线定理多次出现，圆中弦切角的性质，三角形的角平分线的性质），第三问不容易想到三角形的角平分线的这个性质．