Question

【题目】已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵点Q为AB中点，∴AQ=BQ．

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．

在△BFQ和△AEQ中，

，

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．

∴QE=QF．

∴四边形AEBF是平行四边形

（2）证明：△QEF是等腰三角形，如图2，

延长FQ交AE于点D，

由（1）知AE∥BF，

∴∠QAD=∠FBQ．

在△FBQ和△DAQ中，

，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD．

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，即QE=QF，

∴△QEF是等腰三角形

【解析】（1）结合已知证明△BFQ≌△AEQ，进一步得到对角线互相平分即可；（2）延长FQ交AE于点D，证明△FBQ≌△DAQ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．