Question

2．如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点．

Answer 1

分析 延长DA、CB交于点F，如图，设S_△ABC=S，则，S_△ABD=3S，S_△BCD=4S．根据高相等时面积比等于底的比可得$\frac{{S}_{△AFB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{FB}{BC}$=$\frac{{S}_{△DFB}}{{S}_{△DBC}}$，从而可得S_△AFB=S=S_△ABC，则有FB=BC．过点B作DF的平行线，交AC于M′，交DC于N′，根据平行线分线段成比例可得：AM′=CM′，DN′=N′C．然后分三种情况讨论（①点M′在点M的左侧，②点M′在点M的右侧，③点M′与点M重合），运用反证法就可解决问题．

解答 证明：延长DA、CB，交于点F，如图．
设S_△ABC=S，则，S_△ABD=3S，S_△BCD=4S．
∵$\frac{{S}_{△AFB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{FB}{BC}$，$\frac{{S}_{△DFB}}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{FB}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△AFB}}{S}$=$\frac{{S}_{△AFB}+3S}{4S}$，
∴S_△AFB=S，
∴S_△AFB=S_△ABC，
∴FB=BC．
过点B作DF的平行线，交AC于M′，交DC于N′，
根据平行线分线段成比例可得：AM′=CM′，DN′=N′C．
①若点M′在点M的左侧，
则$\frac{AM}{AC}$＞$\frac{AM′}{AC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CN}{CD}$＜$\frac{CN′}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AC}$＞$\frac{1}{2}$＞$\frac{CN}{CD}$，
与条件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
②若点M′在点M的右侧，
同理可得$\frac{AM}{AC}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{CN}{CD}$，
与条件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
③若点M′与点M重合，
则$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{CD}$，符合条件，
此时M、N分别是AC、DC的中点．
综上所述：M与N分别是AC和CD的中点．

点评 本题主要考查了高相等时面积比等于底的比、平行线分线段成比例等知识，运用反证法是解决本题的关键．