Question

【题目】如图，已知抛物线与直线交于，两点，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若为的中点，求的长；

（3）如图，以，为边构造矩形，设点的坐标为，

①请求出，之间的关系式；②求出矩形的周长最大时，点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x；（2）；（3）①；②P（0，0）

【解析】

（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；
（3）①根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．

②根据①中可得DE和CD，以及、之间的关系式可用n表示m，代入

解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，
∴A点在直线上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A点坐标为（2，8），
又A点在抛物线上，
∴8=22+2b，解得b=2，
∴抛物线解析式为y=x2+2x；

（2）联立抛物线和直线解析式可得，

解得，，

∴B点坐标为（-2，0），
如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，

当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，

∴OC=AQ=4，

点坐标为，

又轴，

点纵坐标为4，

点在抛物线上，

，解得或，

点在、之间的抛物线上，

不合题意，舍去，

点坐标为，，

；

（3）①，且四边形为矩形，

点横坐标为，点纵坐标为，

、都在直线上，

，，，

轴，

点纵坐标为，

点在抛物线上，

，整理可得，

解得或（舍去），

点坐标为，，

，，

四边形为矩形，

，即，

整理可得，

即、之间的关系式为；

②根据①中结论可知，，，

矩形PCDE的周长=

=，

∵，

∴，代入，

∴矩形PCDE的周长=，

当n=4，最大值为12，

可得m=-2，

此时点P坐标为（0，0）.