Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．

(1)若BC＝BD，tan∠ABE＝3，DE＝16，求BC的长．

(2)若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝CD．

Answer 1

【答案】(1)BC＝20或16；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意设BC＝x，则AD＝BD＝x，得到AE＝3x﹣48，再根据勾股定理即可解答

(2)延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG．可得到△BEM≌△BEF(SAS)，再由此得到四边形BGDN是正方形，最后证明△DNF≌△DGC(SAS)，即可解答

(1)设BC＝x，则AD＝BD＝x，

∵DE＝16，

∴BE＝x﹣16，

∵AE⊥BD，tan∠ABE＝3，

∴AE＝3(x﹣16)＝3x﹣48，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，

x2﹣(3x﹣48)2＝162，

解得，x＝20或16，

∴BC＝20或16，

(2)延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG．

∵AE⊥BD，

∴OG⊥BD，

∵OB＝OD，

∴BG＝DG，

∵∠DBC＝45°，

∴∠BDG＝45°，

∴∠BGD＝90°，

∵OG∥AM，OA＝OC，

∴OH＝ AF＝OE，HF＝HC，

∴∠OEH＝∠OHE＝45°＝∠OBC，

∴EH∥BC，

∴EF＝MF，

∵BE⊥MF，BF＝BF，

∴△BEM≌△BEF(SAS)，

∴∠MBE＝∠EBF＝45°，BM＝BF，

∴∠DNB＝∠NBG＝90°，

∴四边形BGDN是正方形，

∴DG＝DN＝BN＝BG，

∴MG＝FN，

∵AM∥OG，OA＝OC，

∴MG＝CG，

∴CG＝FN，

在△DNF和△DGC中，

，

∴△DNF≌△DGC(SAS)，

∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC，

∴∠FDC＝∠NDG＝90°，

∴CF＝ CD．