Question

【题目】如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．

（1）若直线PQ随点P向上平移，则：

①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．

②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．

（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．

（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x+6，②2＜t＜4；（2）；（3）x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．

【解析】

（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；

②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理当直线PQ过点N时，t＝4，即可求解；

（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解；

（3）由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．

解：（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，

故y＝﹣x+3+t，

当t＝3时，PQ的表达式为：y＝﹣x+6；

②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；

同理当直线PQ过点N时，t＝4，

故t的取值范围为：2＜t＜4；

（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，

则PN＝PN′，

△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′为最小，

设直线MN′的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线MN′的表达式为：y＝x+，

当x＝0时，y＝，故点P（0，），

∴t＝﹣3＝；

（3）点A（x0，y0），点Q（3，0），点P（0，t+3）

由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．