Question

6．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．

Answer 1

分析 首先利用中位线定理证得CG∥BD，CG=$\frac{1}{2}BD$，然后根据四边形ABCD是菱形得到AC⊥BD，DE=$\frac{1}{2}BD$，从而得到∠DEC=90°，CG=DE，最后利用CG∥BD，得到四边形ECGD是矩形．

解答 证明：∵CF=BC，
∴C点是BF中点，
∵点G是DF中点，
∴CG是△DBF中位线，
∴CG∥BD，CG=$\frac{1}{2}BD$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE=$\frac{1}{2}BD$，
∴∠DEC=90°，CG=DE，
∵CG∥BD，
∴四边形ECGD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、菱形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是牢记菱形的有关判定的方法，难度不大．