Question

4．已知：如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，M是对角线BD的中点，延长BD到点E，连接EC，F是EC的中点
（1）求BD的长；
（2）如果∠E=45°，求MF的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得AD=AB=4，则可判断△ABD为等边三角形，于是BD=AB=4；
（2）连结AC，如图，根据菱形的性质得AC和BD互相垂直平分，而M是对角线BD的中点，则可判定AC经过点M，即CM⊥BD，所以∠CME=90°，AM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，接着由∠E=45°判断△MCE为等腰直角三角形，得到CE=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{6}$，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得MF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{6}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=4，
而∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=4；
（2）连结AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC和BD互相垂直平分，
而M是对角线BD的中点，
∴AC经过点M，
∴CM⊥BD，
∴∠CME=90°，AM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠E=45°，
∴△MCE为等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{6}$，
∵F是EC的中点，
∴MF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．