Question

18．如图1所示，以△ABC的边AB、AC为斜边向外分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边的中点，连接DF、EF．
（1）若AB=AC，试说明DF=EF；
（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF⊥EF；
（3）若∠BAC为钝角，如图3所示，则DF与EF存在什么数量关系与位置关系？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别取AB、AC中点M、N，连接MF、NF，再连接DM、EN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MFNA为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△DMF≌△ENF即可；
（2）如图2，连接AF根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD，AE=CE，由直角三角形的性质得到AF=BF，根据线段垂直平分线的性质得到DF垂直平分AB，同理EF垂直平分AC，求得∠AMF=∠ANF=90°，推出四边形AMFN是矩形，于是得到结论；
（3）DF=EF，DF⊥EF，如图3，分别取AB、AC中点M、N，连接MF、NF，再连接DM、EN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MFNA为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△DMF≌△ENF由全等三角形的性质得到DF=EF，∠MDF=∠NFE，根据平行线的性质得到∠AMF+∠MFN=180°，由三角形的内角和得到∠MDF+∠DMF+∠DFF=180°，等量代换得到∠DFE=∠DMA，即可得到结论．

解答 证明：（1）如图1，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接FM、FN，
∵F为BC边的中点，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN是△ABC的中位线．
∴FN=$\frac{1}{2}$AB，
∴DM=FN=$\frac{1}{2}$AB，EN=MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF与△ENF中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠FNE}\\{MF=EN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF；

（2）如图2，连接AF，∵等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，
∴AD=BD，AE=CE，
∵∠BAC=90°，F为BC边的中点，
∴AF=BF，
∴DF垂直平分AB，
同理EF垂直平分AC，
∴∠AMF=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF；

（3）DF=EF，DF⊥EF，
如图3，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接FM、FN，
∵F为BC边的中点，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN是△ABC的中位线．
∴FN=$\frac{1}{2}$AB，
∴DM=FN=$\frac{1}{2}$AB，EN=MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF与△ENF中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠FNE}\\{MF=EN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF，∠MDF=∠NFE，
∵AM∥NF，
∴∠AMF+∠MFN=180°，
∵∠DMF+∠MDF+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠DMA，
∵∠DMA=90°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．