Question

18．如图，AD是△ABC的高，BF∥AC，过D点的直线交AC于点E，交BF于点F，DE=DF．
求证：
（1）AB=AC；      
（2）BC平分∠ABF．

Answer 1

分析 （1）先利用已知条件证明△CDE≌△BDF，得到CD=BD，由AD是△ABC的高，所以AD垂直平分线段BC，利用垂直平分线的性质得到AC=AB．
（2）由AB=AC，根据等边对等角，得∠C=∠ABC，又∠C=∠DBF，所以∠ABC=∠DBF，即BC平分∠ABF．

解答 解：（1）∵BF∥AC，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DBF}\\{∠CDE=∠BDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△BDF，
∴CD=BD，
∵AD是△ABC的高，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC=AB．
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=∠DBF，
∴∠ABC=∠DBF，
∴BC平分∠ABF．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△CDE≌△BDF．