【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.
【解析】
试题分析:(1)根据圆周角定理可得∠ADC=90°,再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°,再由∠DCB+∠ACD=90°,可得∠DCB=∠A;
(2)当MC=MD时,直线DM与⊙O相切,连接DO,根据等等边对等角可得∠1=∠2,∠4=∠3,再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°,进而证得直线DM与⊙O相切.
试题解析:(1)∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠DCA=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠DCB=∠A;
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切;
连接DO,
∵DO=CO,
∴∠1=∠2,
∵DM=CM,
∴∠4=∠3,
∵∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴直线DM与⊙O相切,
故当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.
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【题目】已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,若E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF.求证:△DEF为等腰直角三角形;
(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.
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【题目】下面给出的四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A. 3∶4∶3∶4 B. 3∶3∶4∶4C. 2∶3∶4∶5D. 3∶4∶4∶3
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【题目】下面事件:①掷一枚硬币,着地时正面向上;②在标准大气压下,水加热到100℃会沸腾;③买一张福利彩票,开奖后会中奖;④明天会下雨.其中,必然事件有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数(k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E,且tan∠BOA=.
(1)求边AB的长;
(2)求反比例函数的解析式和n的值;
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长.
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