Question

赵化鑫城某超市购进了一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更多的利润，商场决定提高销售的价格，经试验发现，若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件；若每月的销售件数y（件）与价格x（元/件）满足y=kx+b．
（1）求出k与b的值，并指出x的取值范围？
（2）为了使每月获得价格利润1920元，商品价格应定为多少元？
（3）要使每月利润最大，商品价格又应定为多少？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）由待定系数法构成二元一方程组就可以求出结论；
（2）由总利润=每件的利润×件数建立方程求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润=每件的利润×件数表示出W与x的函数关系式，再由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）由题意，得

360=20k+b 210=25k+b

，
解得：

k=-30 b=960

，
∴y=-30x+960．
y≥0，
∴-30x+960≥0，
∴x≤32．
∴16≤x≤32．
答：k=-30，b=960，x取值范围为16≤x≤32；
（2）由题意，得
（-30x+960）（x-16）=1920，
解得：x=24．
答：商品的定价为24元；
（3）设总利润为W元，由题意，得
W=（-30x+960）（x-16），
W=-30（x-24）²+1920．
∴a=-30＜0，
∴抛物线的开口向下，W有最大值，
∴x=24时，W_最大=1920．
答：商品价格应定为24元，最大利润是1920元．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二元一次方程的解法的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．