Question

如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：BE=DF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）利用正方形的性质以及等边三角形的性质得出AE=AF，AB=AC，进而利用全等三角形的判定方法得出即可；
（2）首先求出CE与CF的长，再利用勾股定理得出正方形的边长即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AC AE=AF

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；

（2）解：在Rt△EFC中，
CE=CF=2sin45°=

2

，
设正方形ABCD的边长为x，则x²+（x-

2

）²=2²，
解得：x=

2 ± 6

2

（负数舍去），
正方形ABCD的周长为：4×

2 + 6

2

=2

2

+2

6

．

点评：此题主要考查了正方形以及等边三角形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理等知识，得出EC的长是解题关键．