Question

13．已知，⊙O经过矩形ABCD的四个顶点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H
（1）如图1，求证：AE=CK；
（2）如图2，连接AH，GB，若F是EG的中点，求证：四边形BKEG为矩形，并求出tan∠HAC的值；
（3）在（2）的条件下，已知AH=6$\sqrt{2}$，求GH的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，易证得AD=BC，AD∥BC，即可得∠DAE=∠BCK，又由DH∥KB，可得∠HEK=∠BKC=∠AED=90°，则可证得△AED≌△CKB（AAS），继而证得结论；
（2）由四边形BCDG为⊙O的内接四边形，即可求得∠BGD=90°，可得∠BKE=∠BGE=∠GEK=90°，即可证得四边形BKEG为矩形，易证得△AEF≌△BGF（ASA），则可得AB是CH的垂直平分线，证得AH=AC=3AE，然后由勾股定理求得AH的长，继而求得tan∠HAC的值；
（3）由AH=AC=3AE=6$\sqrt{2}$，求得AE的长，继而求得HE的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵DH∥KB，
∴∠HEK=∠BKC=∠AED=90°，
在△AED和△CKB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CKB}\\{∠DAE=∠BCK}\\{AD=CB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CKB（AAS），
∴AE=CK；

（2）解：连接AH，
∵四边形BCDG为⊙O的内接四边形，
∴∠DGB+∠DCB=180°，
∴∠BGD=180°-90°=90°，
∴∠BKE=∠BGE=∠GEK=90°，
∴四边形BGEK是矩形，
在△AEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠BGF=90°}\\{EF=FG}\\{∠AFE=∠BFG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGF（ASA），
∴AE=BG，AF=BF，
∴AE=BG=EK=CK，
∵BK∥EH，
∴CK：EK=CB：HB，
∴CB=HB，
∴AB是CH的垂直平分线，
∴AH=AC=3AE，
在△AHE中，∠AEH=90°，
∴AE²+EH²=AH²，
∴EH=2$\sqrt{2}$AE，
∴tan∠HAC=$\frac{EH}{AE}$=2$\sqrt{2}$；

（2）由（2）可得：AH=AC=3AE=6$\sqrt{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$，
∴HE=2$\sqrt{2}$AE=8，
∵BG∥EC，
∴HG：GE=HB：CB，
∵CB=HB，
∴HG=GE=$\frac{1}{2}$HE=4．

点评 此题属于圆的综合题，考查了矩形的性质与判定、圆的内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．能准确找到全等三角形是关键．