Question

2．如图，PQ为两圆的公共弦，M为PQ上一点，AB、CD分别是两圆的弦且它们相交于M，求证：A、C、B、D四点共圆．

Answer 1

分析 顺次连接A、C、B、D，由相交弦定理得出MA•MB=MC•MD，得出$\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$，再由对顶角相等证出△AMC∽△DMB，得出∠ACM=∠DBM，即可得出A、C、B、D四点共圆．

解答 证明：顺次连接A、C、B、D，如图所示：
∵PQ为两圆的公共弦，
∴由相交弦定理得：MA•MB=MP•MQ，MC•MD=MP•MQ，
∴MA•MB=MC•MD，
∴$\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$，
又∵∠AMC=∠DMB，
∴△AMC∽△DMB，
∴∠ACM=∠DBM，
∴A、C、B、D四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆的证明方法、相交弦定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握相交弦定理，证明三角形相似是解决问题的关键．