Question

11．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则它的底角为70°，当腰上的高与底边的夹角为60°时，它的底角为30°，若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角为70°或20°．

Answer 1

分析 已知一腰上的高与底边的夹角根据直角三角形两锐角互余求得∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求得；已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，据直角三角形两锐角互余求得∠A的度数，然后分两种情况根据等腰三角形的性质求得即可．

解答 解：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°时，如图1，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠CDB=90°，∠CBD=20°，
∴在直角△BDC中，∠C=90°-20°=70°，
∴∠C=∠ABC=70°；
当腰上的高与底边的夹角为60°时，如图2，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠CBD=60°，
∴在直角△CBD中，∠C=90°-60°=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．　
当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°时，分两种情况：
①如图1，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠A=90°-50°=40°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{180°-40°}{2}$=70°；
②如图2，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD=90°-50°=40°，
又∵∠BAD=∠ABC+∠C，∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°．　
故答案为：70°；30°；70°或20°．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想的运用是解答本题的关键．