Question

如用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十边形进行密铺，每个交叉点只允许五块进行密铺，它有（   ）种铺法．

Answer 1

两

分别按一种图形的镶嵌、两种图形的镶嵌、三种图形的镶嵌、四种图形的镶嵌、五种图形的镶嵌五种情况进行分析其结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：如果是一种图形的镶嵌，每个内角度数应是360÷5=72°，边数应是360÷（180-72）非整数，所以不存在；常见的两种图形的镶嵌有：正三角形和正方形；正三角形和正六边形；正方形和正八边形． 正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形和正方形符合五块进行密铺； 正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，∴正三角形和正六边形符合五块进行密铺；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°∴不符合五块进行密铺，三种图形的镶嵌，有1个正三角形和2个正四边形和1个正六边形，不符合五块进行密铺：1个正四边形和1个正六边形和1个正十二边形，不符合五块进行密铺，
3正三角形和正四边形和正十二边形，不符合五块进行密铺，四种图形的镶嵌，较小的四个内角的和已是405°，所以不存在，五种图形更不可能．综上，共有两种铺法．