Question

【题目】已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．

（1）如图1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的邻补角，请写出BE与DF的位置关系，并证明．

（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．

（3）如图3，若BE、DE分别六等分∠ABC、∠ADC的邻补角（即∠CBE=∠CBM，∠CDE=∠CDN），则∠E= ．

Answer 1

【答案】(1)；(2)∥；(3)60O

【解析】

（1）如图1中，延长BE交FD的延长线于H．想办法证明∠DEH+∠EDH=90°即可；

（2）如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；

（3）利用结论：∠DCB=∠E+∠CBE+∠CDE即可解决问题；

解：（1）结论：BE⊥DF；

理由：如图1中，延长BE交FD的延长线于H．

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠CDN=180°，

∴∠ABC=∠CDN，

∵∠ABE=∠ABC，∠FDN=∠EDH=∠CDN，

∴∠ABE=∠EDH，

∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEH，

∴∠DEH+∠EDH=90°，

∴∠H=90°，

即BE⊥DF．

（2）结论：DE∥BF；

理由：如图2中，连接BD．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，

∴∠MBC+∠CDN=180°，

∵∠CBF=∠MBC，∠CDN=∠CDN，

∴∠CBF+∠CDE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，

∴DE∥BF．

（3）如图3中，

∵∠MBC+∠CDN=180°，

∴∠CDE+∠CBE=（∠MBC+∠CDN）=30°，

∵∠DCB=∠E+∠CBE+∠CDE，

∴∠E=90°-30°=60°．

故答案为60°．