【题目】已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)本题要判定△ACE≌△BCD,已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,则DC=EA,AC=BC,∠ACB=∠ECD,又因为两角有一个公共的角∠ACD,所以∠BCD=∠ACE,根据SAS得出△ACE≌△BCD.
(2)由(1)的论证结果得出∠DAE=90°,AE=DB,从而求出AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.
证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△AEC≌△BDC(SAS);
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45度.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD2+AE2=DE2.
由(1)知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.
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【题目】如图,直线y=0.5x+b分别交x轴、y轴于点A、C,点P是直线AC与双曲线y=kx-1在第一象限内的交点,PB⊥x轴,垂足为点B,且OB=2,PB=4.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△APB的面积;
(3)求在第一象限内,当x取何值时一次函数的值小于反比例函数的值?
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【题目】已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如图1,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的邻补角,请写出BE与DF的位置关系,并证明.
(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.
(3)如图3,若BE、DE分别六等分∠ABC、∠ADC的邻补角(即∠CBE=∠CBM,∠CDE=∠CDN),则∠E= .
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【题目】在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为,,,点P,Q是边上的两个动点点P不与点C重合,以P,O,Q为顶点的三角形与全等,则满足条件的点P的坐标为______.
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【题目】在徐汇区开展“创建全国文明城区”期间,某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务,工程队在改造完180米管道后,引进了新设备,每天的工作效率比原来提高了20%,结果共用30天完成了任务,问引进新设备后工程队每天改造管道多少米?
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,则AC的长是_________;
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【题目】如图,一张长方形纸片宽AB=DC=8 cm,长BC=AD=10 cm,∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°.现将纸片折叠,使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE),求EC的长.
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【题目】已知k为非负实数,关于x的方程x2﹣(k+1)x+k=0和kx2﹣(k+2)x+k=0.
(1)试证:前一个方程必有两个非负实数根;
(2)当k取何值时,上述两个方程有一个相同的实数根.
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【题目】一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;
(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个黑球的概率是,求从袋中取出黑球的个数.
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