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【题目】已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,DAB边上一点.

1)求证:△ACE≌△BCD

2)求证:2CD2=AD2+DB2.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

1)本题要判定△ACE≌△BCD,已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=ECD=90°,则DC=EAAC=BC,∠ACB=ECD,又因为两角有一个公共的角∠ACD,所以∠BCD=ACE,根据SAS得出△ACE≌△BCD

2)由(1)的论证结果得出∠DAE=90°,AE=DB,从而求出AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2

证明:(1∵△ABC△ECD都是等腰直角三角形,

∴AC=BCCD=CE

∵∠ACB=∠DCE=90°

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD

∴∠ACE=∠BCD

△ACE△BCD中,

∴△AEC≌△BDCSAS);

2∵△ACB是等腰直角三角形,

∴∠B=∠BAC=45.

∵△ACE≌△BCD

∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°

∴AD2+AE2=DE2.

由(1)知AE=DB

∴AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.

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