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【题目】已知k为非负实数,关于x的方程x2﹣(k+1)x+k=0和kx2﹣(k+2)x+k=0.

(1)试证:前一个方程必有两个非负实数根;

(2)当k取何值时,上述两个方程有一个相同的实数根.

【答案】(1)证明见解析;(2)当k=2或0或时,述两个方程有一个相同的实数根.

【解析】

(1)先根据根的判别式求解,再根据根与系数的关系求解即可;(2)先求出第一个方程的两个根,再分类求出即可.

(1)证明:x2﹣(k+1)x+k=0,

=[﹣(k+1)]2﹣4k=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,

即方程关于x的方程x2﹣(k+1)x+k=0一定有两个实数根;

设方程的两根为x1,x2

则根据根与系数的关系得:x1+x2=k+1,x1x2=k,

k为非负实数,

x1+x2=k+1>0,x1x2=k≥0,

∵由x1x2=k≥0得出方程有同号两个根或有一个根为0;

∴由x1+x2=k+1>0,x1x2=k≥0得出方程有两个正实数根或有一个根为0,

所以方程x2﹣(k+1)x+k=0必有两个非负实数根;

(2)x2﹣(k+1)x+k=0

=[﹣(k+1)]2﹣4k=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,

方程的根为

即方程的根为k1;

当相同的根是k时,把x=k代入方程kx2﹣(k+2)x+k=0得:k3﹣(k+2)k+k=0,

解得:k=0k=k=

k为非负实数,

k=舍去;

当相同的根是1时,把x=1代入方程kx2﹣(k+2)x+k=0得:k﹣(k+2)+k=0,

解得:k=2;

所以当k=20时,上述两个方程有一个相同的实数根.

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EAF45°∴ 2+∠3=∠BAD-∠EAF90°-45°=45°.

1=∠2,∠1+∠345°.

即∠GAF=∠________

AGAEAFAE

GAF≌△________

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