Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，

∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF＝2AE；

（2）若CD＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）AD=2+

【解析】

试题分析：（1）根据AD⊥BC，∠BAD=45°，得出AD=BD，∠ADC=∠FDB=90°，根据AD⊥BC，BE⊥AC得出∠CAD=∠CBE，从而得出△ADC和△BDF全等，得出AC=BF，根据AB=BC，BE⊥AC，得出AE=EC，可得BF=2AE；（2）根据△ADC和△BDF全等得出DF=CD=，根据Rt△CDF的勾股定理得出CF=2，得出AF=FC=2，根据AD=AF+DF求出长度．

试题解析：（1）∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴ ∠ABD=∠BAD=45°．

∴ AD=BD．

∵ AD⊥BC,BE⊥AC,

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o

∴ ∠CAD=∠CBE．

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF．

∴ AC=BF．

∵ AB=BC,BE⊥AC,

∴ AE=EC，即AC＝2AE．

∴ BF＝2AE．

（2）∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=．

∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2．

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2．

∴ AD=AF+DF=2+．