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【题目】如图,已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆,OPAC,且与BC的垂线交于点POPAB于点DBCPA的延长线交于点E

1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若sinEPA6,求AC的长.

【答案】1)见解析;(2.

【解析】

1)先利用平行线的性质得到∠ACO=POB,∠CAO=POA,加上∠ACO=CAO,则∠POA=POB,于是可根据“SAS”判断PAO≌△PBO,则∠PAO=PBO=90°,然后根据切线的判定定理即可得到PA是⊙O的切线;

2)先由PAO≌△PBOPB=PA=6,在RtPBE中,利用正弦的定义可计算PE=10,则AE=PE-PA=4,再在RtAOE中,由sinE=,可设OA=3t,则OE=5t,由勾股定理得到AE=4t,则4t=4,解得t=1,所以OA=3;接着在RtPBO中利用勾股定理计算出OP=3,然后证明EAC∽△EPO,再利用相似比可计算出AC

1)证明:连接OA,如图,

ACOP

∴∠ACO=∠POB,∠CAO=∠POA

又∵OAOC

∴∠ACO=∠CAO

∴∠POA=∠POB

PAOPBO中,

∴△PAO≌△PBOSAS),

∴∠PAO=∠PBO

又∵PBBC

∴∠PBO90°

∴∠PAO90°

OAPE

PA是⊙O的切线;

2)解:∵△PAO≌△PBO

PBPA6

RtPBE中,∵sinE

,解得PE10

AEPEPA4

RtAOE中,sinE

OA3t,则OE5t

AE4t

4t4,解得t1

OA3

RtPBO中,∵OB3PB6

OP

ACOP

∴△EAC∽△EPO

,即

AC

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