【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE
(1)求出k值.
(2)求出△OCD的面积
(3)试探究坐标轴上是否存在点P,使得△PCD的面积等于菱形ABCD的面积的一半,如果存在,请直接写出点P的坐标;如不存在,请说明理由.
【答案】(1)k=;(2)9;(3)存在,P(0,
)或(1,0)
【解析】
(1)由已知,可得菱形边长为5,作DF⊥BC,设出点D坐标,即可用勾股定理构造方程,进而求出k值;
(2)连接OD、OC,构造矩形OEGH,利用矩形的面积减去三个小三角形的面积,即可得到答案;
(3)先求出菱形的面积,然后得到△PCD的面积,然后分成两种情况讨论,分别作出图形,求出点P的坐标即可.
解:(1)过点D作DF⊥BC于F,
由已知,BC=5,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC=5,
∵BE=3DE,
∴设DE=x,则BE=3x,
∴DF=3x,BF=x,FC=5﹣x,
在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2
∴(3x)2+(5﹣x)2=52
∴解得:x=1;
∴DE=1,FD=3,
设OB=a
则点D坐标为(1,a+3),点C坐标为(5,a),
∵点D、C在双曲线上,
∴1×(a+3)=5a,
∴a=,
∴点C坐标为(5,),点D坐标为(1,
),
∴k=;
(2)连接OD、OC,构造矩形OEGH,如图:
由(1)知,点C坐标为(5,),点D坐标为(1,
),
∴OE=,DE=1,DG=4,CG=3,CH=
,OH=5,
∴;
(3)存在;
①当点P与点B重合时,如图,连接PD;
∵PD是菱形的对角线,
∴,
∴点P的坐标为:(0,);
②如图,过点D作DP⊥x轴,交BC于点F,
由(1)可知,,
∵DP=,
,
∴,
∴,
∴点P的坐标为:(1,0);
综合上述,P的坐标为(0,),(1,0).
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【题目】如图,是
的直径,点
为
上一点,点
是半径
上一动点(不与
,
重合),过点
作射线
,分别交弦
,
于
,
两点,在射线
上取点
,使
.
(1)求证:是
的切线;
(2)当点是
的中点时,
①若,判断以
,
,
,
为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
②若,且
,求
的长.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP交对角线BD于点E,.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F,N.
(1)求证:;
(2)若,求
.
(3)如图2,在(2)的条件下,连接CF,求的值.
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【题目】如图,已知反比例函数y=的图象经过第一象限内的一点A(n,4),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2.
(1)求m和n的值;
(2)若一次函数y=kx+2的图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求线段AC的长.
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【题目】如图,⊙O的半径为,四边形ABCD为⊙O的内接矩形,AD=6,M为DC中点,E为⊙O上的一个动点,连结DE,作DF⊥DE交射线EA于F,连结MF,则MF的最大值为_____.
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【题目】已知: 是
的两条弦,
于点
,
的平分线交
于点
,交
于点
,连接
如图1,求
的度数;
如图2,
为
上一点,连接
,当
时,求证:
如图3 ,在
的条件下,当
为
的直径时,经过点
的弦
交
于点
,若
的面积为
,求线段
的长.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CE∥BD,DE∥AC,CE和DE交于点E.
(1)求证:四边形ODEC是矩形;
(2)当∠ADB=60°,AD=2时,求sin∠AED的值,求∠EAD的正切值.
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【题目】本学期,大兴区开展了“恰同学少年,品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量,具体数据如表所示:
诗词数量 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
人数 | 3 | 4 | 4 | 5 | 7 | 5 | 1 | 1 |
那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是
A. 11,7 B. 7,5 C. 8,8 D. 8,7
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