Question

如图，点A在双曲线y=

k

x

上，点C在x轴正半轴上，过点A、C分别作x轴、y轴的平行线，交点为B，D为BC的中点，连接AD，OD．若OC=BC，∠OAD=∠AOC，S_△AOD=

5

4

，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题,压轴题

分析：设B点坐标为（a，a），A点坐标为（m，a），则C点坐标为（a，0），D点坐标为（a，

1

2

a），作DE∥OC，根据平行线性质得∠AED=∠AOC，而∠AOC=∠OAD，则∠AED=∠EAD，得到DA=DE，由DE为梯形ABCO的中位线，DE=

1

2

（AB+OC）=

1

2

（a-m+a）=a-

1

2

m，在Rt△ABD中利用勾股定理得到（a-m）²+

1

4

a²=（a-

1

2

m）²，可解得a₁=3m，a₂=m（舍去），然后利用S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC=

5

4

建立关于m的方程，解方程得到满足条件的m的值，确定A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式可求出k的值．

解答：解：设B点坐标为（a，a），A点坐标为（m，a），则C点坐标为（a，0），D点坐标为（a，

1

2

a），
作DE∥OC，如图，则∠AED=∠AOC，
∵∠AOC=∠OAD，
∴∠AED=∠EAD，
∴DA=DE，
∵D点为BC的中点，
∴DE为梯形ABCO的中位线，
∴DE=

1

2

（AB+OC）=

1

2

（a-m+a）=a-

1

2

m，
∴DA=a-

1

2

m，
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，即（a-m）²+

1

4

a²=（a-

1

2

m）²，
整理得a²-4ma+3m²=0，解得a₁=3m，a₂=m（舍去），
∵S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC，
∴

1

2

（2m+3m）•3m-

1

2

•2m•

3

2

m-

1

2

•3m•

3

2

m=

5

4

，
解得m₁=

3

3

，m₂=-

3

3

（舍去），
∴A点坐标为（

3

3

，

3

），
把A（

3

3

，

3

）代入y=

k

x

中得k=

3

3

×

3

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=

k

x

图象上的点满足其解析式；当k＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小；利用梯形中位线的性质可得到线段之间的相等关系，运用勾股定理可进行几何计算．