Question

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠CAB=30°．
（I）如图①，求∠DAC的大小；
（II）如图②，若⊙O的直径为8，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（Ⅰ）连接OC，由切线的性质可知OC⊥DC因为AD⊥DC，所以OC∥AD，由平行线的性质可得：∠DAC=∠CAB=30°；
（Ⅱ）连接OE，OC，首先可证明△AOE是等边三角形，所以AE=AO=4，根据DE=AD-AE计算即可．

解答：解：（Ⅰ）连接OC，
∵DC是圆的切线，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠CAB=30°；
（Ⅱ）连接OE，OC，
∵∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=

1

2

AB=4，
∵AB=8，∠CAB=30°，
∴AC=8×cos30°=4

3

，
∴AD=AC•cos30°=6，
∴DE=AD-AE=6-4=2．

点评：本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及特殊角的锐角三角形函数值，题目的综合性较强，难度中等．