Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）分两种情况考虑：如图1所示，过B作BH垂直于AC，利用三角形面积公式求出BH的长，由三角形AED与三角形ABH相似，得比例表示出DE即可；如图2所示，同理得到三角形CED与三角形CBH相似，由相似得比例表示出DE即可；
（3）如图3所示，由AD+DG+GC=10，求出t的值；
（4）如图1所示，重叠部分为正方形EFGD，表示出S与t的函数关系式；如图2所示，重叠部分为三角形EDC面积减去三角形CGM，表示出S与t的函数关系式即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm；
（2）分两种情况考虑：如图1所示，

过B作BH⊥AC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABH，
∴$\frac{AD}{AH}$=$\frac{ED}{BH}$，即$\frac{t}{\frac{18}{5}}$=$\frac{DE}{\frac{24}{5}}$，
解得：DE=$\frac{4}{3}$t，
则当0≤t≤$\frac{18}{5}$时，DE=$\frac{4}{3}$t；
如图2所示，

同理得到△CED∽△CBH，
∴$\frac{DE}{BH}$=$\frac{CD}{CH}$，即$\frac{DE}{\frac{24}{5}}$=$\frac{10-t}{\frac{32}{5}}$，
解得：DE=$\frac{3}{4}$（10-t）=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{2}$，
则当$\frac{18}{5}$＜t≤10时，DE=$\frac{3}{4}$（10-t）=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{2}$；
（3）如图3所示，

由题意，得AD+DG+GC=10，即t+$\frac{4}{3}$t+$\frac{4}{3}$t×$\frac{4}{3}$=10，
解得：t=$\frac{90}{37}$；
（4）如图1所示，当0＜t≤$\frac{90}{37}$时，S=（$\frac{4}{3}$t）²=$\frac{16}{9}$t²；
如图2所示，当$\frac{18}{5}$≤t＜10时，S=[$\frac{3}{4}$（10-t）]²-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$（10-t）×$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$（10-t）=$\frac{45}{128}$（10-t）²．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．